Chapitre 2 : Les suites numériques

Chapitre 2 : Les suites numériques

1. Définition

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels notés :
$(u_n)$, où $n$ est un entier naturel appelé rang.
Exemple : $u_0,u_1,u_2,\dots$

2. Types de suites

a) Suite arithmétique

• Définition : $(u_n)$est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante.
  → $u_{n+1}=u_n+r$
  où $r$ est la raison.

• Formule explicite :
  $u_n=u_0+n\times r$
  

• Exemple : $2,5,8,11,\dots$ avec $r=3$
  

b) Suite géométrique

• Définition : $(u_n)$est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
  → $u_{n+1}=q\times u_n$
  où $q$ est la raison.

• Formule explicite :
  $u_n=u_0\times q^n$
  

• Exemple : $3,6,12,24,\dots$ avec $q=2$
  

3. Sens de variation

• Une suite est croissante si $u_{n+1}>u_n$

• Décroissante si $u_{n+1}<u_n$

• Constante si $u_{n+1}=u_n$

4. Représentation graphique

Une suite peut être représentée par des points $(n,u_n)$ dans un repère.
→ Cela permet de visualiser son évolution (croissance, décroissance, oscillation…).

5. Limite d’une suite

On dit que la suite $(u_n)$ a une limite $L$ si les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de $L$ quand $n$ devient très grand.

• Si $u_n\to +\mathrm{\infty }$→ la suite diverge positivement.

• Si $u_n\to -\mathrm{\infty }$ → la suite diverge négativement.

• Si $u_n\to L\in \mathbb{R}$ → la suite converge vers $L$.

6. Suites définies par récurrence

Certaines suites ne sont pas données par une formule directe mais par une relation de récurrence :
→ $u_{n+1}=f(u_n)$
On détermine alors les premiers termes pas à pas à partir de $u_0$.

À retenir

📍 Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$.
📍 Deux suites essentielles : arithmétique (addition) et géométrique (multiplication).
📍 La limite permet d’étudier le comportement à l’infini.
📍 La récurrence permet de calculer les termes d’une suite définie étape par étape.