Chapitre 3 : Dérivation et étude des fonctions

Dans ce chapitre, nous allons étudier la dérivation, un outil essentiel pour analyser le comportement d’une fonction, déterminer ses variations et identifier ses points importants comme les maximums et minimums.

1. Notion de dérivée

La dérivée d’une fonction en un point mesure sa vitesse de variation, c’est-à-dire la pente de la tangente à sa courbe.

Définition : f′(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h.

2. Sens de variation

La dérivée permet de déterminer si une fonction croît lorsque f′(x) > 0, décroît lorsque f′(x) < 0 ou peut admettre un extremum si f′(x) = 0.

3. Tangente à une courbe

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a pour équation : y = f′(a)(x − a) + f(a).

4. Dérivées usuelles

• Quelques dérivées importantes :
  - (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ 
• - (1/x)′ = −1/x² 
• - (√x)′ = 1/(2√x) 
• - (eˣ)′ = eˣ 
• - (ln x)′ = 1/x 
• - (sin x)′ = cos x 
• - (cos x)′ = −sin x

5. Règles de dérivation

• Principales règles :
  - (f + g)′ = f′ + g′ 
• - (f − g)′ = f′ − g′ 
  - (f × g)′ = f′g + fg′ 
• - (f / g)′ = (f′g − fg′) / g² 
  - (u ∘ v)′ = (u′ ∘ v) × v′

6. Signe de la dérivée

Pour analyser les variations d’une fonction, on calcule sa dérivée, on étudie son signe puis on dresse le tableau de variation.

7. Extremums et points stationnaires

- Un point a est stationnaire lorsque f′(a) = 0.
- Si f′ passe du positif au négatif, f(a) est un maximum local.
- Si f′ passe du négatif au positif, f(a) est un minimum local.

8. Étude complète d’une fonction

Étudier une fonction consiste à déterminer son domaine de définition, analyser sa parité, calculer ses limites pour rechercher d’éventuelles asymptotes, trouver sa dérivée et étudier son signe, établir le tableau de variation puis tracer la courbe représentative.

9. Applications

La dérivation permet d’étudier la forme des courbes, d’optimiser des situations, de déterminer des extremums et de modéliser des phénomènes physiques.

À retenir

- La dérivée mesure la variation d’une fonction.
- Le signe de f′ indique si la fonction croît ou décroît.
- Les extremums apparaissent lorsque f′ s’annule et change de signe.
- L’étude complète d’une fonction combine limites, dérivée, variations et courbe.