Chapitre 1– La logique
Objectif du chapitre
Dans ce premier chapitre, nous allons étudier la logique mathématique, base essentielle de tout raisonnement rigoureux.
Nous apprendrons à identifier, combiner et manipuler des propositions logiques, à utiliser les connecteurs, les quantificateurs, et à appliquer les principales méthodes de raisonnement pour démontrer ou réfuter des affirmations.
1. Propositions et connecteurs logiques
- Une proposition est une phrase pouvant être vraie ou fausse.
- Les principaux connecteurs logiques sont :
- ¬P : non P
- P ∧ Q : P et Q
- P ∨ Q : P ou Q
- P ⇒ Q : si P alors Q
- P ⇔ Q : P si et seulement si Q
2. Équivalences logiques
Certaines formes logiques sont équivalentes
3. Quantificateurs
Les quantificateurs permettent d’exprimer des propriétés sur des ensembles
4. Méthodes de raisonnement
- Raisonnement direct : démontrer pas à pas.
- Contraposée : prouver ¬Q ⇒ ¬P.
- Absurde : supposer le contraire et obtenir une contradiction.
- Contre-exemple : prouver qu’une proposition n’est pas toujours vraie.
- Récurrence : démontrer une propriété valable pour tout entier naturel.
Résumé final
- Proposition → Énoncé pouvant être vrai ou faux.
- Connecteurs → ¬ (non), ∧ (et), ∨ (ou), ⇒ (implique), ⇔ (équivaut).
- Quantificateurs → ∀ (pour tout), ∃ (il existe).
- Raisonnement → Direct, contraposée, absurde, contre-exemple, récurrence.
