Chapitre 1 : Arithmétique dans N
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons étudier les propriétés des nombres entiers naturels, leurs divisions, leurs facteurs premiers et les relations entre PGCD et PPCM. Ces notions sont fondamentales en arithmétique.
1. Ensemble des entiers naturels
L’ensemble des entiers naturels est :
On peut y effectuer l’addition et la multiplication.
2. Parité des nombres
Un nombre est pair s’il s’écrit sous la forme 2k.
Il est impair s’il s’écrit 2k + 1.
Propriétés :Pair ± Pair = Pair
Pair ± Impair = Impair
Impair ± Impair = Pair
Pair × (Pair ou Impair) = Pair
Impair × Impair = Impair
Le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair.
3. Multiples et diviseurs
On dit que a divise b (noté a | b) s’il existe un entier k tel que b = a × k.
Sinon, on écrit a ∤ b.
Ainsi, a est diviseur de b et b est multiple de a.
4. Division euclidienne
Pour tous entiers a, b (avec b ≠ 0), il existe des entiers q et r tels que :
où q est le quotient et r le reste.
5. Nombres premiers
Un nombre entier p > 1 est premier s’il n’a que deux diviseurs positifs : 1 et p.
Sinon, il est composé.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11…
Tout entier n > 1 peut se décomposer en facteurs premiers de manière unique.
6. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Le PGCD de deux nombres est le plus grand entier qui les divise tous les deux.
On peut le calculer à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
7. Plus Petit Commun Multiple (PPCM)
Le PPCM de deux nombres est le plus petit entier non nul divisible par ces deux nombres.
Relation importante :
8. Nombres premiers entre eux
Deux nombres a et b sont premiers entre eux si pgcd(a, b) = 1.
Propriété : si a | bc et pgcd(a, b) = 1, alors a | c.
9. Exercices d’application
Dans cette partie, nous allons étudier plusieurs exercices pour appliquer les notions vues dans le cours :
- Parité des expressions numériques.
- Calculs de PGCD et PPCM.
- Décomposition en facteurs premiers.
- Utilisation des propriétés de divisibilité.
