Dans ce chapitre, nous allons étudier trois outils essentiels du calcul numérique : le développement, la factorisation et les puissances. Ils permettent de simplifier les expressions, d’effectuer des calculs plus facilement et de résoudre différentes situations algébriques. Nous allons également voir des exercices d’application.
1- Développement
Le développement consiste à enlever les parenthèses en utilisant la distributivité ou les identités remarquables.
Distributivité :
a(b + c) = ab + ac
Identités remarquables :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)(a + b) = a² − b²
Le développement permet de transformer un produit en somme.
2- Factorisation
La factorisation est l’opération inverse du développement : on transforme une somme en produit.
Méthodes principales :
Facteur commun :
ax + ay = a(x + y)
Identités remarquables inverses :
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − b² = (a − b)(a + b)
La factorisation permet de simplifier ou de résoudre des expressions.
3- Puissances
Une puissance représente un produit répété d’un même nombre :
aⁿ = a × a × … × a (n fois)
Règles principales :
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
10ⁿ permet d’écrire les nombres en notation scientifique.
Utilité du chapitre
Ces techniques permettent :
• de simplifier les expressions
• de factoriser pour résoudre des équations
• d’effectuer des calculs complexes
• d’écrire les nombres très grands ou très petits
À retenir
- Le développement transforme un produit en somme.
- La factorisation transforme une somme en produit.
- Les puissances permettent d’écrire des produits répétés et de simplifier les calculs.
- Ce chapitre est essentiel pour maîtriser l’algèbre au collège.
