Chapitre 3 : Le théorème de Thalès

Dans ce chapitre, nous allons étudier le théorème de Thalès, un outil fondamental de géométrie qui permet de calculer des longueurs grâce à des triangles semblables. Il s’applique lorsque deux droites sont parallèles et qu’elles découpent des triangles proportionnels.

1. Configuration du théorème

Le théorème de Thalès s’applique lorsque :

• 
  

  - deux droites sont parallèles,

  
  


• 
  

  - elles coupent deux autres droites en formant un triangle ou des segments.

  
  

Exemple de configuration :

A, B et C sont alignés.

A', B' et C' sont alignés.

BB' est parallèle à CC'.

Dans ce cas, les triangles sont semblables.

2. Enoncé du théorème

Si des droites parallèles coupent deux autres droites, alors :

$$\frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} = \frac{BB'}{CC'}$$

C’est-à-dire que les longueurs correspondantes sont proportionnelles.

3. Forme pratique

On peut écrire le théorème sous forme de rapports :

$$\frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}$$

ou sous forme de produit en croix :

$$AB \times A'C' = AC \times A'B'$$

Ce qui permet de calculer une longueur inconnue.

4. Réciproque du théorème

- La réciproque permet de montrer que deux droites sont parallèles.

- Si dans deux triangles les rapports de longueurs sont égaux, alors les droites sont parallèles.

5. Applications

Le théorème de Thalès permet de :

• 
  

  - calculer des longueurs manquantes,

  
  


• 
  

  - prouver le parallélisme,

  
  


• 
  

  - résoudre des problèmes de géométrie avec triangles, segments et figures à échelle,

  
  


• 
  

  - travailler sur des agrandissements ou des réductions.

  
  

À retenir

• 
  

  - Thalès = proportionnalité dans les triangles.

  
  


• 
  

  - Conditions : alignement et parallélisme.

  
  


• 
  

  - Utilité : calculs, démonstrations et vérification du parallélisme.