Chapitre 3 : Calcul vectoriel dans le plan

Dans ce chapitre, nous allons étudier les vecteurs dans le plan, leurs propriétés essentielles ainsi que les différentes opérations que l’on peut effectuer avec eux. Le calcul vectoriel est un outil fondamental pour représenter des déplacements, des forces et des relations géométriques.

1. Notion de vecteur

Nous verrons qu’un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme. Le vecteur $\vec{AB}$ représente le déplacement qui fait passer du point A au point B. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

2. Somme et différence de vecteurs

Nous apprendrons à additionner et soustraire des vecteurs : par la méthode du parallélogramme ou par la méthode du “bouts à bouts”, qui permet d’obtenir $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Nous verrons aussi comment calculer un vecteur opposé.

3. Multiplication d’un vecteur par un réel

Nous étudierons la façon de multiplier un vecteur par un nombre réel. Cette opération permet d’allonger ou de raccourcir un vecteur, et d’en changer le sens lorsque le réel est négatif.

4. Coordonnées de vecteurs

Dans un repère, chaque vecteur peut être décrit par des coordonnées $(x, y)$. Nous apprendrons à calculer les coordonnées d’un vecteur $\vec{AB}$ puis à additionner, soustraire ou multiplier des vecteurs grâce à leurs coordonnées.

5. Norme d’un vecteur

Nous étudierons la longueur (norme) d’un vecteur, définie par :

$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

6. Colinéarité et alignement

Nous verrons comment déterminer si deux vecteurs sont colinéaires, c’est-à-dire lorsqu’ils ont la même direction. Cette propriété sera utilisée pour montrer que des points sont alignés ou pour caractériser certains quadrilatères.

7. Applications

Nous utiliserons le calcul vectoriel pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, étudier des propriétés géométriques, et calculer distances et déplacements dans le plan.