Chapitre 3 : L’ordre dans ℝ

Dans ce chapitre, nous allons étudier l’ordre dans ℝ, c’est-à-dire la manière de comparer les nombres réels, de comprendre leurs propriétés et d’utiliser les règles de comparaison pour résoudre des inégalités ou organiser des valeurs numériques. La notion d’ordre est fondamentale en mathématiques car elle structure l’ensemble des nombres réels.

1. Comparaison des nombres réels

Comparer deux nombres réels revient à déterminer lequel est plus grand, plus petit, ou s’ils sont égaux.

On utilise les symboles :

• 
  

  $a < b$ : a est plus petit que b

  
  


• 
  

  $a > b$ : a est plus grand que b

  
  


• 
  

  $a = b$ : a est égal à b

  
  

Une comparaison permet de classer ou ordonner les nombres.

2. Intervalles et repère

L’ordre permet de définir des intervalles dans ℝ, c’est-à-dire des ensembles de nombres situés entre deux bornes :

• 
  

  $[a, b]$ intervalle fermé

  
  


• 
  

  $(a, b)$ intervalle ouvert

  
  


• 
  

  $[a, b[$ ou $]a, b]$ intervalles semi-ouverts

  
  

Ces intervalles permettent de représenter graphiquement des ensembles de solutions d’inégalités.

3. Propriétés de l’ordre

L’ordre dans ℝ possède des règles importantes :

• 
  

  Compatibilité avec l’addition :
  
  Si $a < b$, alors $a + c < b + c$.

  
  


• 
  

  Compatibilité avec la multiplication par un positif :
  
  Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$.

  
  


• 
  

  Multiplication par un négatif :
  
  Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$.
  
  (Le sens de l’inégalité s’inverse.)

  
  

Ces propriétés sont essentielles pour résoudre des inégalités.

4. Résolution d’inégalités

Grâce aux propriétés de l’ordre, on peut transformer et résoudre des expressions telles que :

• 
  

  $ax + b < c$
  

  
  


• 
  

  $ax > b$
  

  
  


• 
  

  ou encore des comparaisons d’expressions numériques.

  
  

On applique :

1. 
   

   - les mêmes opérations des deux côtés,

   
   


2. 
   

   -avec attention au changement de sens lorsque l’on multiplie/divise par un nombre négatif.

   
   

5. Utilisation dans les expressions numériques

L’ordre permet aussi de :

• 
  

  - ranger des nombres du plus petit au plus grand,

  
  


• 
  

  - comparer des fractions, racines, puissances,

  
  


• 
  

  - encadrer des valeurs (ex. : $3 < \sqrt{12} < 4$)

  
  

  
  

À retenir

• 
  

  - L’ordre dans ℝ permet de comparer et d’organiser les nombres.

  
  


• 
  

  - Trois symboles fondamentaux : < , > , =.

  
  


• 
  

  - Les intervalles décrivent des ensembles de nombres.

  
  


• 
  

  - Le sens d’une inégalité change lorsqu’on multiplie par un nombre négatif.

  
  


• 
  

  - Les règles d’ordre sont essentielles pour résoudre des inégalités.