Chapitre 2 - Les ensembles

Chapitre 2 : Les ensembles

Dans ce chapitre, nous allons étudier la notion d’ensemble, la manière de les décrire, les relations qui existent entre eux et les opérations qu’on peut effectuer sur ces ensembles.

1. Définition d’un ensemble

Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.
Exemple :

• L’ensemble des nombres pairs : $E=\{0,2,4,6,\dots \}$
  

• L’ensemble des voyelles : $V=\{a,e,i,o,u\}$
  

Un élément appartient à un ensemble si on peut écrire :
$a\in A$ (a appartient à A)
et n’appartient pas si : a$$∉Aa \notin A

2. Manières de définir un ensemble

• Par extension : on énumère tous les éléments.
  Exemple : $A=\{1,2,3,4\}$
  

• Par compréhension : on décrit la propriété commune.
  Exemple : $A=\{x\in \mathbb{N}\mathrm{\mid }x<5\}$
  

3. Ensembles numériques usuels

• $\mathbb{N}$ : entiers naturels

• $\mathbb{Z}$ : entiers relatifs

• $\mathbb{D}$ : nombres décimaux

• $\mathbb{Q}$ : rationnels

• $\mathbb{R}$ : réels

Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres :

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$

4. Inclusion et égalité

• $A\subset B$ : tout élément de A appartient à B

• $A=B$ : les deux ensembles ont exactement les mêmes éléments

• $A⊊B$ : A est inclus dans B mais différent de B

5. Opérations sur les ensembles

• Union : $A\cup B=\{x\mathrm{\mid }x\in A\text{ ou }x\in B\}$
  

• Intersection : $A\cap B=\{x\mathrm{\mid }x\in A\text{ et }x\in B\}$

• Différence : $A\setminus B=\{x\mathrm{\mid }x\in A\text{ et }x\mathrm{\notin }B\}$

• Complémentaire : ensemble des éléments qui n’appartiennent pas à A dans un ensemble universel $E$
  → $\bar{A}=E\setminus A$
  

6. Diagramme de Venn

Les diagrammes de Venn permettent de représenter graphiquement les ensembles et leurs relations (union, intersection, complémentaire…).

7. Produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles $A$ et $B$ est l’ensemble des couples ordonnés :

$$A\times B=\{(x,y)\mathrm{\mid }x\in A,y\in B\}$$

À retenir

• - Un ensemble regroupe des éléments.

• - On peut les décrire par extension ou par compréhension.

• - Les ensembles numériques sont emboîtés les uns dans les autres.

• - On peut faire des opérations (union, intersection, différence).

• - Le diagramme de Venn aide à visualiser ces relations.