Chapitre 4 : Le barycentre dans le plan

Dans ce chapitre, nous allons étudier le barycentre, un point particulier associé à un ensemble de points du plan auxquels on attribue des coefficients appelés coefficients pondérateurs. Le barycentre est une sorte de “centre de masse” géométrique, utilisé pour simplifier des configurations ou résoudre des problèmes vectoriels.

1. Barycentre de deux points

Soient deux points A et B, avec des coefficients réels non nuls $a$ et $b$.

Le barycentre du système $(A, a)$ et $(B, b)$ est le point G vérifiant :

$$\vec{GA} \cdot a + \vec{GB} \cdot b = \vec{0}.$$

Lorsque les coefficients sont positifs, G est sur le segment AB.

De plus, il divise le segment dans le ratio :

$$\frac{GA}{GB}=\frac{b}{a}\mathrm{.}$$

Cas particulier important :

Pour des coefficients égaux, c’est le milieu :

$$G = \text{milieu de } AB.$$

2. Barycentre de plusieurs points

Pour un ensemble de points $A_1, A_2, …, A_n$ avec des coefficients $a_1, a_2, …, a_n$ dont la somme n’est pas nulle, le barycentre G est le point qui vérifie :

$$a_1 \vec{GA_1} + a_2 \vec{GA_2} + \cdots + a_n \vec{GA_n} = \vec{0}.$$

On peut aussi le définir par la relation vectorielle :

$$\vec{OG} = \frac{a_1 \vec{OA_1} + a_2 \vec{OA_2} + \cdots + a_n \vec{OA_n}}{a_1 + a_2 + a_n}.$$

3. Propriétés essentielles

Le barycentre a plusieurs propriétés utiles :

• 
  

  - Si tous les coefficients sont positifs, G se trouve à l’intérieur de l’enveloppe des points.

  
  


• 
  

  - Le barycentre est unique pour un système donné.

  
  


• 
  

  - Il permet de simplifier des systèmes vectoriels en remplaçant plusieurs points par un seul.

  
  

4. Applications géométriques

Le barycentre est utilisé pour :

• 
  

  - calculer des positions ou des points particuliers dans une figure,

  
  


• 
  

  - démontrer des alignements ou des parallélismes,

  
  


• 
  

  - simplifier des configurations vectorielles,

  
  


• 
  

  - résoudre des exercices de géométrie analytique.

  
  

Un cas très important est celui du centre de gravité d’un triangle :

$$G = \text{barycentre de } (A,1), (B,1), (C,1),$$

et G est alors le point d’intersection des médianes.

À retenir

- Le barycentre est un point défini par une relation vectorielle pondérée.
- Pour deux points, il généralise la notion de milieu.
- Pour plusieurs points, il représente une moyenne géométrique pondérée.
- C’est un outil puissant pour simplifier des calculs et comprendre la structure d’une figure.