Chapitre 3 : Généralités sur les fonctions numériques

Dans ce chapitre nous allons étudier les notions fondamentales liées aux fonctions numériques : leur définition, leurs propriétés, leurs variations, ainsi que la comparaison et la composition des fonctions. Ce chapitre constitue la base indispensable pour les études des fonctions plus complexes. À la fin, vous trouverez des exercices similaires à ceux proposés aux examens nationaux.

1. Fonction numérique

On définit une fonction comme une application qui associe à chaque réel d’un ensemble $D$ un unique réel $f(x)$. Le domaine $D_f$ dépend de l’expression de la fonction (attention aux racines et dénominateurs).

2. Fonctions paires et impaires

• 
  

  Une fonction est paire si :
  
  $f(-x) = f(x)$et $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
  
  → Symétrie par rapport à l’axe vertical.

  
  


• 
  

  Elle est impaire si :
  
  $f(-x) = -f(x)$
  
  → Symétrie par rapport à l’origine.

  
  

3. Monotonie

Une fonction peut être :

• 
  

  Croissante si elle augmente avec x,

  
  


• 
  

  Décroissante si elle diminue,

  
  


• 
  

  Constante si sa valeur ne change pas.

  
  

4. Taux d’accroissement

Le taux d’accroissement entre $a$ et $b$ est :

$$T_f(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-\mathrm{a<span\; style="font-family:\; Nunito,\; "Segoe\; UI",\; arial;"></span>}}$$

Il indique si la fonction monte, descend ou reste constante entre deux points.

5. Fonctions majorées, minorées et bornées

• 
  

  - Majorée : il existe M tel que $f(x)\le M$

  
  


• 
  

  - Minorée : il existe m tel que $f(x) \ge m$
  

  
  


• 
  

  - Bornée : à la fois majorée et minorée.

  
  

On étudie aussi les maximums et minimums d’une fonction.

6. Fonction périodique

Une fonction est périodique si elle se répète :

$f(x+T)=f(x)$

Exemples : sin, cos, tan.

7. Comparaison de deux fonctions

On compare deux fonctions en étudiant le signe de leur différence $h(x)=f(x)-g(x)$

→ Permet de savoir laquelle est au-dessus de l’autre sur un intervalle.

8. Composition de fonctions

La composée $g(f(x))$ consiste à appliquer d’abord $f$ puis $g$.

On étudie également comment les variations de $f$ et $g$ influencent la monotonie de $g \circ f$

9. Étude de quelques fonctions usuelles

Le chapitre se termine avec :

• 
  

  - La fonction trinôme (parabole),

  
  


• 
  

  - La fonction homographique (hyperbole),

  
  


• 
  

  - La fonction cube,

  
  


• 
  

  - La fonction racine,

  
  


• 
  

  - La fonction partie entière.

  
  

Pour chacune, on étudie le domaine, la forme de la courbe, et les propriétés essentielles.