Résumé du chapitre 1 : Limites et Continuité

Chapitre 1 : Limites et continuité des fonctions

Introduction

Dans ce premier chapitre d’analyse, nous allons étudier le comportement d’une fonction lorsque la variable $x$ s’approche d’une certaine valeur.
L’objectif est de comprendre ce qu’est une limite, de savoir traiter les formes indéterminées, et d’apprendre à vérifier la continuité d’une fonction.

1. Notion de limite

Lorsqu’on dit que $f(x)$ a une limite $L$ en un point $a$, cela signifie que les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus proches de $L$ lorsque $x$ s’approche de $a$.
On écrit :

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

Cas particuliers :

• - Limite à droite : ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$
  

• - Limite à gauche : ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$

- Si les deux limites existent et sont égales, alors la limite en $a$ existe.

2. Formes indéterminées

Quand on remplace $x$ par une valeur et qu’on obtient des expressions comme :

$$\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},0\times \mathrm{\infty },\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },$$

on dit que c’est une forme indéterminée.

Pour résoudre ce type de problème, on utilise plusieurs méthodes :

• - La factorisation, pour simplifier les expressions.

• - La simplification de termes communs.

• - La rationalisation, pour éliminer les racines.

• - Les identités trigonométriques, par exemple $\sin x\approx x$ lorsque $x$ tend vers 0.

Exemple :

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2-5x+3}\Rightarrow \text{forme ind}\acute{\text{e}}\text{termin}\acute{\text{e}}\text{e }\frac{0}{0}\mathrm{.}$$

Après factorisation :

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(2x-3)}=-2.$$

3. Techniques de calcul des limites

Pour déterminer une limite, on peut utiliser :

• - La simplification des termes similaires.

• - La factorisation d’un polynôme.

• - Les limites remarquables, comme :

  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1.$$
  

• Les développements limités ou substitutions pour simplifier les expressions complexes.

4. Continuité d’une fonction

Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si trois conditions sont vérifiées :

1. $\mathrm{-\; f}(a)$ est définie.

2. ${\mathrm{-\; lim}}_{x\to a}f(x) \; existe$
   

3. ${\mathrm{-\; lim}}_{x\to a}f(x)=f(a)$
   

Cela signifie que la courbe de la fonction ne présente ni saut ni trou au point considéré.

Les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques, exponentielles et logarithmiques sont continues sur leurs domaines de définition.

5. Types de discontinuités

Une fonction peut être :

• - Continue : la limite et la valeur en $a$ coïncident.

• - Discontinue par saut : les limites à droite et à gauche existent mais sont différentes.

• - Discontinue par trou : la limite existe mais la fonction n’est pas définie au point.

• - Discontinue avec asymptote : la limite tend vers $+\mathrm{\infty \; ou <span\; style="font-family:\; Nunito,\; "Segoe\; UI",\; arial;"><br></span>}$$-\mathrm{\infty }$.

  
  

  6. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle [a, b], alors elle prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$

👉 En particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés, il existe au moins un point $c\in (a,b)$ tel que $f(c)=0$.

Ce théorème est très utile pour démontrer l’existence d’une solution d’équation sans avoir à la calculer.

7. Exercices et applications

Dans ce chapitre, les exercices portent sur :

• - Le calcul de limites numériques et trigonométriques.

• - La résolution de formes indéterminées.

• - La vérification de la continuité d’une fonction.

• - L’utilisation du théorème des valeurs intermédiaires.

À retenir

✅ La limite décrit le comportement d’une fonction quand $x$ approche une valeur donnée.
✅ La continuité signifie que la courbe ne présente pas de rupture.
✅ Les formes indéterminées se résolvent par simplification, factorisation ou rationalisation.
✅ Le TVI garantit que toute valeur intermédiaire est atteinte sur un intervalle continu.
✅ Les fonctions usuelles sont continues sur leurs domaines de définition.