Chapitre 2 : Les suites numériques

Chapitre 2 : Les suites numériques

1- Introduction

Dans ce chapitre, nous allons étudier les suites numériques, c’est-à-dire des listes ordonnées de nombres qui suivent une certaine règle. Chaque nombre de la suite s’appelle un terme, noté $u_n$.

2- Définition

Une suite numérique est une succession de nombres réels :

$$(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=u_0,u_1,u_2,u_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$$

Chaque terme peut être calculé à l’aide d’une formule ou à partir du terme précédent.

3- Deux manières de définir une suite

• Formule explicite : on donne directement $u_n$ en fonction de $n$.
  Exemple : $u_n=2n+1$
  

• Formule de récurrence : on exprime $u_{n+1}$ à partir de $u_n$.
  Exemple : $u_{n+1}=u_n+3$ avec $u_0=1$
  

4- Suites arithmétiques

Définition : $u_{n+1}=u_n+r$, où $r$ est la raison.
Formule explicite : $u_n=u_0+n\times r$.
Graphiquement, les points sont alignés.

5- Suites géométriques

Définition : $u_{n+1}=q\times u_n$, où $q$ est la raison géométrique.
Formule explicite : $u_n=u_0\times q^n$.
Si $q>1$, la suite croît ; si $0<q<1$, elle décroît.

6- Sens de variation

Une suite est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$, et constante si $u_{n+1}=u_n$.

7- Limite d’une suite

Quand $n$ devient très grand, la suite peut :

• - tendre vers une valeur finie : ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{u}_n=L$
  

• - devenir infinie : ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$
  

8- À retenir

• - Suite arithmétique → on ajoute toujours la même valeur.

• - Suite géométrique → on multiplie toujours par la même valeur.

• - Étudier une suite consiste à déterminer sa formule, son sens de variation et sa limite.