Chapitre 4 : Fonctions logarithmiques népériennes

Chapitre 4 : Fonctions logarithmiques népériennes

Dans ce chapitre nous allons étudier la fonction logarithme népérien, notée ln(x), ses propriétés essentielles, son lien avec la fonction exponentielle, ainsi que ses applications dans la résolution d’équations, d’inéquations et dans l’analyse de fonctions. Vous verrez également des exercices inspirés et proposés aux examens nationaux, pour vous entraîner efficacement.

1. Définition du logarithme népérien

• 
  

  - La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est définie pour tout x > 0.

  
  


• 
  

  - C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle :

  
  $$y=\ln (x)⟺e^y=x$$

2. Domaine, image et variations

• 
  

  Domaine : $]0, +\infty[$
  

  
  


• 
  

  Image : $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$

  
  


• 
  

  Variations :

  
  
  
  
  • 
    

    ln(x) est strictement croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

    
    
  
  
  • 
    

    Lorsque $x \to 0^+$, $\ln(x) \to -\infty$
    

    
    
  
  
  • 
    

    Lorsque $x \to +\infty$, $\ln(x) \to +\infty$
    

    
    
  
  
  
  

3. Propriétés fondamentales

Pour tous $a>0$, $b>0$ :

• 
  

  $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$

  
  


• 
  

  $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
  

  
  


• 
  

  $\ln(a^n) = n \ln(a)$ (où n ∈ ℝ)

  
  


• 
  

  $\ln(1) = 0$
  

  
  


• 
  

  $\ln(e) = 1$
  

  
  

4. Dérivée de ln(x)

La fonction ln(x) est dérivable sur $]0, +\infty[$ et :

$$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$$

Conséquence :

• 
  

  La courbe de ln(x) a une tangente verticale à gauche.

  
  


• 
  

  ln(x) croît lentement mais continuellement.

  
  

5. Résolution d’équations et d’inéquations

Grâce aux propriétés du logarithme, on peut résoudre facilement :

Équations :

• 
  

  Exemples :

  
  
  
  
  • 
    

    $\ln(x) = 2 \Rightarrow x = e^2$
    

    
    
  
  
  • 
    

    $\ln(3x) = 5 \Rightarrow 3x = e^5 \Rightarrow x = \frac{e^5}{3}$

    
    
  
  
  
  

Inéquations :

• 
  

  Comme ln(x) est strictement croissante :

  
  
  
  
  • 
    

    $\ln(x) > \ln(a) \Rightarrow x > a$
    

    
    
  
  
  
  

6. Étude de fonctions avec ln(x)

Vous étudierez des fonctions du type :

• 
  

  $f(x) = \ln(x)$
  

  
  


• 
  

  $f(x) = x\ln(x)$
  

  
  


• 
  

  $f(x) = \ln(ax+b)$
  

  
  


• 
  

  $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$

  
  

Avec :

• 
  

  - calcul des dérivées,

  
  


• 
  

  - tableaux de variations,

  
  


• 
  

  - limites,

  
  


• 
  

  - résolution de problèmes appliqués,

  
  


• 
  

  - optimisation (fréquent dans les examens nationaux).

  
  

7. Exercices types des examens nationaux

Ce chapitre contient traditionnellement :

• 
  

  - des exercices de calcul de limites avec ln(x),

  
  


• 
  

  - des résolutions d’équations du type $e^{\ln(x)}$ ou $\ln(e^x)$
  

  
  


• 
  

  - des études de fonctions utilisant ln(x),

  
  


• 
  

  - des démonstrations simples avec les propriétés du logarithme,

  
  


• 
  

  - des exercices sur la résolution de problèmes (aire, optimisation, vitesse).

  
  

Vous aurez l’occasion de vous entraîner sur des exercices similaires aux épreuves du BAC, ce qui renforcera votre compréhension et votre maîtrise.