Chapitre 3 : Triangle rectangle : Théorème de Pythagore

Dans ce chapitre, nous allons étudier le théorème de Pythagore, un résultat fondamental de géométrie qui relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Il permet de calculer un côté manquant lorsque l’on connaît les deux autres.

1. Configuration du théorème

Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle, c’est-à-dire un triangle qui possède un angle droit.

Dans un triangle rectangle :

• 
  

  - l’angle droit est le sommet important,

  
  


• 
  

  - le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse,

  
  


• 
  

  - les deux autres côtés sont les côtés de l’angle droit.

  
  

Exemple :

Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est BC.

2. Énoncé du théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Formule :

Cela permet de calculer une longueur inconnue lorsque deux côtés sont connus.

3. Forme pratique

Pour résoudre un problème, on utilise la relation :

• 
  

  Si on cherche l’hypoténuse :

  
  $$\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}^2 + \text{côté}^2$$
  


• 
  

  Si on cherche un côté d’un angle droit :

  
  $$\text{côté}^2 = \text{hypoténuse}^2 - \text{autre côté}^2$$
  

On termine souvent par une racine carrée pour obtenir la longueur.

4. Réciproque du théorème

La réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle.

Si, dans un triangle quelconque, on observe que :

alors le triangle est rectangle en A.

5. Applications

Le théorème de Pythagore permet de :

• 
  

  - calculer des longueurs inconnues,

  
  


• 
  

  - vérifier si un triangle est rectangle,

  
  


• 
  

  - résoudre des problèmes avec distances, diagonales, échelles,

  
  


• 
  

  - travailler en géométrie plane ou dans des situations concrètes (plans, terrains, cartes, constructions).

  
  

À retenir

• 
  

  - Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle.

  
  


• 
  

  - Hypoténuse = côté le plus long, opposé à l’angle droit.

  
  


• 
  

  - Relation fondamentale :

  
  $${\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}^2={\text{c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}}^2+{\text{c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}}^2$$


• 
  

  - La réciproque permet de vérifier qu’un triangle est rectangle.