Chapitre 5 : Calcul trigonométrique

Dans ce chapitre, nous allons étudier les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, notamment le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu. Ces outils permettent de calculer des longueurs ou des angles à partir d’informations partielles dans un triangle rectangle.

1. Triangle rectangle et vocabulaire

On considère un triangle rectangle en A.
- Les deux côtés qui forment l’angle droit sont appelés côtés de l’angle droit.
- Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse (le plus long côté du triangle).

Pour un angle aigu, par exemple $\widehat{B}$

• 
  

  - le côté en face est le côté opposé,

  
  


• 
  

  - le côté qui touche l’angle (hors hypoténuse) est le côté adjacent,

  
  


• 
  

  - l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

  
  

2. Sinus, cosinus et tangente

Dans un triangle rectangle, on définit :

Sinus

$$\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$$

Cosinus

$$\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$

Tangente

$$\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$$

Ces formules permettent de calculer des longueurs lorsque l’on connaît un angle et un côté.

3. Utilisation des relations trigonométriques

Pour calculer une longueur :

• 
  

  - on choisit la fonction (sin, cos ou tan) en fonction des côtés connus,

  
  


• 
  

  - on remplace dans la formule,

  
  


• 
  

  - on résout l’équation.

  
  

Exemple :
- Si on connaît l’angle $\theta$ et l’hypoténuse, on peut calculer le côté opposé avec :

$$\text{oppos}\acute{\text{e}}=\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}\times \sin (\theta )$$

- De même, on peut utiliser les fonctions trigonométriques pour trouver un angle en utilisant la touche sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹ de la calculatrice.

4. Identité fondamentale

Dans tout triangle rectangle :

$${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

Cette relation est appelée relation fondamentale de la trigonométrie et permet de vérifier des calculs.

5. Applications

Le calcul trigonométrique sert à :

• 
  

  - déterminer des hauteurs et des distances réelles,

  
  


• 
  

  - résoudre des problèmes de triangles,

  
  


• 
  

  - calculer des angles de pente ou d’élévation,

  
  


• 
  

  - modéliser des situations géométriques.

  
  

  
  

À retenir

- Sinus = opposé / hypoténuse
- Cosinus = adjacent / hypoténuse
- Tangente = opposé / adjacent
- Ces relations permettent de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle.